No ano 300 A . C. Euclides admitiu como 11^o axioma, ou 5^o postulado a seguinte proposição: Por um ponto é possível traçar uma paralela a uma reta dada, e somente uma. Pouco tempo depois esse axioma deu margem a dúvidas. Vários matemáticos tentaram demonstrá-lo, até se convencerem de que era mesmo um axioma : "verdadeiro em si, acima de pretensas comprovações sensoriais". Mais de mil anos depois, no período de duas décadas, quatro homens, independentemente , têm a idéia de rejeitar esse axioma e trabalhar não-euclidianamente : Janos Bolyai (1802-1860), Nicolai Lobachevsky (1793-1856), B. Riemann (1826-1866) e Felix Klein(1849-1925).

Geometria riemanniana

A geometria riemanniana é também chamada de geometria elíptica . É uma das geometrias não-euclidianas que rejeita o 5^o postulado de Euclides e modifica o 2^o . Na geometria riemanniana não existem paralelas a uma reta dada. Todas as retas se interceptam.

Ainda que alguns teoremas da geometria riemanniana sejam idênticos a alguns da geometria euclidiana, a maioria deles difere. Na geometria euclidiana duas paralelas são equidistantes, enquanto na riemanniana, elas não existem; na euclidiana, a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois retos; na riemanniana, a soma dos ângulos de um triângulo é maior do que dois retos; na primeira, polígonos de áreas diferentes podem ser semelhantes; na segunda, polígonos de áreas diferentes não podem ser semelhantes.

Os primeiros trabalhos publicados sobre geometria não-euclidiana sugiram por volta de 1830 . Essas publicações eram desconhecidas de Riemann, que , em 1866 estendeu os conceitos de duas para três ou mais dimensões.

A parte mais conhecida e popularizada dos estudos de Riemann refere-se à sistematização e generalização das geometrias, criando um sistema que cobre a geometria euclidiana clássica, as geometrias não euclidianas de Nicolai Lobachevsky, Johann Bolyai, e de Gauss e outras possíveis.

A geometria Riemanniana parte da idéia de estudar as propriedades dos espaços geométricos localizados, em lugar de insistir na criação de um sistema completo para todo o espaço.

Filho de um pastor de aldeia, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) foi educado em condições muito modestas, permanecendo sempre frágil e tímido de modos. Teve, no entanto, boa instrução, primeiro em Berlim, depois em Göttingen, onde obteve seu doutorado com uma tese sobre teoria das funções de variável complexa . É aqui que achamos as chamadas equações de Cauchy – Riemann, U_{x =} V_{y ,} U_{y =} - V_x, que uma função analítica w = f(z) = u + iv de uma variável complexa z = x + iy deve satisfazer, embora essa exigência fosse conhecida já nos dias de Euler e d’Alembert. A tese levava também ao conceito de superfície de Riemann, antecipando o papel que a topologia finalmente viria a desempenhar na análise.

Em 1854 Riemann tornou-se Privatdozent na Universidade de Göttingen, e segundo o costume, ele foi designado para apresentar um habilitationschrift perante o corpo docente. O resultado no caso de Riemann foi a mais célebre conferência probacionária da história da matemática, pois apresentava uma profunda e ampla visão de todo o domínio da geometria. A tese tinha o título " Über die hypothesen welche der geometrie zu grunde liegen" (sobre as hipóteses que estão nos fundamentos da geometria), mas não apresentava um exemplo específico. Propunha, em vez disso, uma visão global da geometria como um estudo de variedades de qualquer número de dimensões em qualquer tipo de espaço. Suas geometrias eram não-euclidianas num sentido muito mais geral do que a de Lobachevsky, em que a questão é simplesmente a de quantas paralelas são possíveis por um ponto. Riemann viu que a geometria nem sequer deveria necessariamente tratar de pontos ou retas ou do espaço no sentido ordinário, mas de coleções n-uplas que são combinadas segundo certas regras.

Entre as regras mais importantes em qualquer geometria, Riemann percebeu, está a regra para achar a distância entre dois pontos que estão infinitesimalmente próximos um do outro. Na geometria euclidiana ordinária essa " métrica" é dada por ds² = dx² + dy² + dz² ; mais uma infinidade de outras fórmulas podem ser usadas como fórmula da distância, e naturalmente a métrica usada determinará as propriedades do espaço ou a geometria.

Um espaço cuja métrica é da forma

ds² = g₁₁dx² + g₁₂dxdy + g₁₃dxdz

+ g₂₁dydx + g₂₂dy² + g₂₃dydz

+ g₁₃dzdx + g₂₃dzdy + g₃₃dz²,

onde as g são constantes ou, mais geralmente, funções de x, y e z, chama-se espaço riemanniano. Assim ( localmente) o espaço euclidiano é apenas um caso muito especial de um espaço riemanniano em que g₁₁=g₂₂=g₃₃=1 e todos os gs são zero. Riemann inclusive desenvolveu a partir da métrica uma fórmula para a curvatura da gaussiana de uma "superfície" em seu "espaço". Não é de espantar que depois da conferência de Riemann, e quase pela única vez em sua longa carreira, Gauss tenha exprimido entusiasmo pela obra de outra pessoa.

Há também um sentido mais restrito em que usamos hoje a frase geometria riemanniana: a geometria plana que se deduz da hipótese de Saccheri do ângulo obtuso se se abandona também a hipótese da infinitude da reta. Um modelo para essa geometria se encontra na interpretação do "plano" como superfície de uma esfera e de uma "reta" como um círculo máximo sobre a esfera. Nesse caso, a soma dos ângulos de um triângulo é maior do que dois retos, ao passo que na geometria de Lobachevsky e Bolyai (correspondendo `a hipótese do ângulo agudo) a soma dos ângulos é menor que dois retos. Esse uso do nome de Riemann, no entanto, não faz justiça à mudança fundamental nas concepções geométricas que sua habilitaionschrift de 1854 (só publicada em 1867) acarretou. Foi a sugestão de Riemann do estudo geral de espaços métricos com curvatura e não o caso especial da geometria sobre a esfera, que mais tarde tornou possível a teoria geral da relatividade. O próprio Riemann contribuiu grandemente para a física teórica em muitas direções, e portanto foi apropriado que em 1859 ele fosse nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira em Göttingen que Gauss ocupara.

Ao mostrar que a geometria não-euclidiana com soma dos ângulos maior que dois retos é realizada sobre a superfície de uma esfera, Riemann essencialmente provou a consistência dos axiomas de que a geometria deriva. No mesmo sentido Eugênio Beltrami (1835-1900), um colega de Cremona em Bolonha e mais tarde professor em Pisa, Pávia e Roma, mostrou que havia disponível um modelo para a geometria de Lobachevsky. Esse é a superfície gerada pela revolução de uma tratriz em torno de uma assíntota, superfície denominada pseudo-esfera por Ter curvatura negativa constante, assim como a esfera tem curvatura positiva constante. Se definimos a "reta" entre dois pontos da pseudo-esfera como a geodésica por esses pontos, a geometria resultante terá as propriedades que resultam dos postulados de Lobachevsky. Como o plano é uma superfície com curvatura constante nula, a geometria euclidiana pode ser considerada como um intermediário entre os dois tipos de geometria não-euclidiana.

A unificação da geometria que Riemann tinha conseguido era especialmente relevante no caso da geometria diferencial, ou geometria "de pequena vizinhança". A geometria analítica, ou "em grande" não mudara muito. Na verdade, a conferência de Riemann foi feita mais ou menos a meio tempo da auto-aposentadoria geométrica de Plüker, durante a qual tinha havido uma pausa na atividade sobre a geometria analítica na Alemanha. Em 1865 Plüker novamente voltou a publicar trabalhos de matemática desta vez em publicações inglesas em vez do "journal de Crelle" , provavelmente porque Cayley mostrara interesse pela obra de Plüker. Nesse ano ele publicou um artigo em Philosophical Transactions (frequentemente chamada Phil. Trans.) que três anos depois ele expandiu num livro sobre uma "Nova geometria do espaço" . Aqui ele explicitamente formulou um princípio que ele já indicara vinte anos antes. Um espaço , ele dizia, não precisa ser pensado como uma totalidade de pontos; pode igualmente bem ser visualizado como composto de retas. Na verdade, cada figura que antes fora pensada como um lugar ou totalidade de pontos pode ser ela própria pensada como um elemento de um espaço, e a dimensionalidade do espaço corresponderá ao número de parâmetros que determinam esse elemento. Se nosso espaço ordinário a três dimensões é pensado como um "feixe de feno cósmico de palhas infinitamente finas e infinitamente longas" em vez de um "aglomerado de um chumbo de matar passarinho infinitamente fino ele será a quatro dimensões em vez de três.

Bibliografia:

BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. Edgard Blücher Ltda.

São Paulo, 1976. Título Original: A History of Mathematics.

KARLSON, Paul. A magia dos números. (coleção tapete mágico). Tradução: Henrique Carlos Pfeifer. Globo. Rio de Janeiro, 1961. Título original: Vom zauber der zahlen.

BRITANNICA, Micropaedia, vol.10.

BARSA, Enciclopédia. Vol--.